Charge Carriers In Semiconductors. [n0, p0]

Equilibrium Distribution of Electrons and Holes.

반도체 안에서는 전자와 정공, 두 가지의 전하 캐리어가 전류를 흘릴 수 있다. 위 그림처럼 Conduction band 의 전자와 Valence band 의 정공이 반도체의 전류를 크게 결정하는 요소가 되는데, 전자와 정공의 밀도는 반도체의 중요한 특성이다. 이러한 전자와 정공의 밀도는 상태 함수의 밀도, 페르미 분포 함수와 연관성이 있다.

Conduction band 내 전자의 분포, n(E) 는 허용된 양자 상태의 밀도와 상태가 전자로 채워져 있을 확률의 곱으로 표현할 수 있다. fF(E) 는 페르미-디락 확률 함수이고, qc(E) 는 Conduction band 내 양자 상태의 밀도를 나타낸다. 단위 부피 당 총 전자의 농도는 아래의 식을 전체 Conduction band 에너지에 대한 적분으로 계산할 수 있다.

비슷하게, Valence band 내 정공의 분포, q(E) 는 Valence band 내에서 허용된 양자 상태(allowed quantum states)의 밀도와 전자에 의해 채워지지 않았을 때의 확률의 곱으로 표현할 수 있다. 단위 부피 당 총 정공의 농도는 아래의 식을 전체 Valence band 에너지에 대한 적분으로 계산할 수 있다.

열 평형 상태에서의 전자와 정공의 농도를 알기 위해서는, Ec 와 Ev 사이에 존재하는 페르미 에너지, EF 의 위치를 알아야 한다. 그러기 위해서, 진성 반도체를 다시 떠올려야 한다. 이상적인 진성 반도체는 불순물 원자도 없고, 결정 내 격자 결함(lattice defects)도 없는 순수한 반도체이다. 이전에, T = 0K 에 Valence band 의 모든 에너지 states 는 전자로 가득 채워져 있고 conduction band 의 모든 에너지 states 는 비어 있다는 것을 알았다. 따라서, 페르미 에너지(전자가 발견될 확률이 1/2 일 때, 전자가 가지는 에너지 준위)는 Ec 와 Ev 사이 어딘가에 존재해야 한다. (Fermi Energy 가 allowed energy 에 부합할 필요는 없기 때문이다.)

온도가 T > 0K 이상으로 증가할 때, 원자가 전자들은 열적 에너지(Thermal Energy)를 얻는다. 몇몇의 전자들은 충분한 에너지를 얻어 Conduction band 로 이동하게 된다. 전자가 Valence band 에서 Conduction band 로 이동했을 때, Valence band 에는 비어 있는 상태, 정공이 발생한다. 진성 반도체에서는, 열적 에너지로 인한 전자와 정공의 발생이 짝을 이루기 때문에(created in pairs) Conduction band 의 전자의 수와 Valence band 의 정공의 수가 서로 같다.

Thermal Equilibrium Electron Concentration.

n0 (Thermal Equilibrium Electron Concentration) 는 위의 식을 Conduction band energy 범위에 대한 적분으로 얻는다.

적분 범위는 Ec 부터 허용된 Conduction band energy 의 최대치이다. 그러나 (a) 에서 보여지는 것처럼, 페르미 확률 함수는 에너지가 증가함에 따라 급격하게 0 으로 다가가게 되고, 적분의 최대 범위를 무한대로 취할 수 있게 된다. 우리는 Fermi energy 가 forbidden-energy band-gap 내에 존재한다는 것을 알고 있다. Conduction band 의 전자들에 대해서 E > Ec 이다. 만약, (Ec - Ef) >> kT 라면, (E - Ef) >> kT 가 성립하고, 페르미 확률 함수를 Boltzmann approximation 으로 다음과 같이 정리할 수 있다.

4.3 식에 적용하면 Conduction band 안 열 평형 상태의 전자 밀도, n0 는 다음과 같이 나타낼 수 있게 된다.

4.5 식의 적분은 새로운 변수를 취급함으로써 더 쉽게 전개할 수 있다.

Gamma-function 의 적분 값은 다음과 같다.

그러면, 4.7 식은 아래와 같이 나타낼 수 있게 된다.

다음으로 Nc, effective density of states function in the conduction band 를 새롭게 정의한다.

mn* 는 전자의 states effective mass 밀도를 나타낸다. 따라서, 최종적으로 Conduction band 안 열 평형 상태의 전자 밀도, n0 (Thermal Equilibrium Electron Concentration) 는 다음과 같은 결과식을 얻는다.

[Effective mass] 는 전자의 동역학적인 특성을 설명하기 위해 사용되는 개념이다. 일반적으로, 전자의 질량은 자유전자의 질량과 같다고 알려져 있다. 하지만, 반도체 내에서의 전자는 결정 구조를 이룬 원자들과의 상호 작용으로 그 운동 특성이 조금 다르게 나타날 수 있다. 이러한 상호 작용은 전자의 질량을 변화시키고, 전자의 운동을 형성하는 Energy band 구조에 영향을 줄 수 있다.

Thermal Equilibrium Hole Concentration.