Formation of Energy Bands

 

(a) 는 하나의 독립적인 수소 원자  중 가장 낮은 전자 에너지 상태에 대한 확률 밀도 함수를 나타내고, (b) 는 서로 인접한 두 원자에 대한 동일한 확률 밀도 함수를 나타낸다. 두 원자의 파동 함수는 겹치게 되는데, 이는 두 원자가 서로 상호 작용 한다는 것을 의미한다. 이러한 상호 작용은 (c) 처럼 양자화된 에너지 레벨(Discrete quantized energy level)이 두 개의 에너지 레벨(Discrete energy level)로 분리되는 결과를 초래한다. 그리고 이러한 Discrete 상태가 두 개의 상태로 분리되는 것은 파울리 베타 원리와 일치하게 된다. 

 

 

두 개의 원자를 넘어 '원자들'이 서로 상호 작용하게 된다면, 위 그림처럼 에너지 레벨의 띠(Band, allowed band, 전자가 존재할 수 있는 영역)를 형성하게 된다. 파울리 베타 원리에 따르면, 원자가 결합하여 시스템(결정, Crystal)을 형성하는 것은 띠의 크기와는 상관이 없으며, 양자 상태의 총 갯수를 바꾸지는 않는다고 한다. 하지만, 두 개의 전자가 동일한 양자수를 가질 수는 없고, 각 전자는 서로 다른 양자 상태를 차지할 수 있도록 에너지(Discrete Energy)가 밴드 내에 분리되어야 한다.  

 

 

n = 3 인 원자의 경우, 가장 바깥 껍질인 n = 3 이 가장 먼저 다른 원자와 상호 작용하고, 그 다음으로 n =2, n = 1 순으로 다른 원자와 상호 작용하며 위와 같은 에너지 밴드를 형성하며, 평형 상태의 원자간 거리가 r0 일 때, forbidden band 에 의해 분리된 allowed band 를 얻을 수 있다. 반도체 재료 중 가장 대표적인 실리콘의 경우, 다음과 같은 그림으로 설명할 수 있다. 

 

 

14 개의 원자 중 10 개의 원자는 원자핵에 가까운 깊은 곳에 있는 에너지 레벨을 차지한다. 남은 4 개의 원자가 전자들이 화학적 반응에 포함되고, 상대적으로 약하게 묶여 있다. n = 1 과 n = 2 의 에너지 껍질의 전자들은 원자핵에 강하게 묶여 있기 때문에 n = 3 level 의 원자가 전자 4 개만 고려하면 된다.

 

3s 상태는 n = 3 과 l = 0 에 대응하고 원자 당 2 개의 양자 상태를 가지고 있으며, T = 0K 에서 2 개의 전자를 가진다.

3p 상태는 n = 3 과 l = 1 에 대응하고 원자 당 6 개의 양자 상태를 가지고 있으며, 나머지 2 개의 전자를 가진다. 

 

원자 간 거리가 점차 줄어들면서, 3s 와 3p 의 상태는 상호 작용하며 Overlap 된다. 평형 상태의 원자 간 거리에서는, Band 가 다시 분리되지만, Upper Band 에 원자 당 4 개의 양자 상태를, Lower Band 에 원자 당 4 개의 양자 상태를 가지게 된다. 절대 영도에서, 전자들은 가장 낮은 에너지 상태에 존재한다. 즉, Lower Band (the valence band) 에 있는 모든 상태는 가득 차 있고, Upper Band 에 있는 모든 상태는 비어 있는 상태인 것이다. 

 

 

 

The Energy Band and the Bond Model.

 

 

단일 결정 실리콘 격자 내 공유 결합은 2 차원에서 위와 같은 그림으로 대표할 수 있다. T = 0K 에서의 각 실리콘 원자들은 공유 결합을 한, 가장 낮은 에너지 상태를 가진 8 개의 전자들에 둘러싸여 있다. T = 0K 에서는, lower band(valence band) 의 4N 개의 상태가 원자가 전자로 채워져 있으며, valence band 의 모든 원자가 전자들은 위와 같은 그림의 구조를 가진다. 또한, T = 0K 에서, upper energy band(conduction band) 는 완전히 비어 있는 상태이다. 

 

 

(a), (b) : 0K 위로 온도가 증가함에 따라, valence band 의 일부 전자들이 충분한 thermal energy 를 얻어 공유 결합을 끊고 conduction band 로 이동하려 하게 된다.

 

반도체는 전기적으로 중성(neutrally charged) 상태를 가진다. 이 말은, 음전하(전자)가 공유 결합을 끊고 자리를 벗어남에 따라, 기존의 valence band 의 공유 결합 자리에 양전하(정공)가 생성된다는 뜻이다. 온도가 올라갈수록, 더 많은 전자들이 공유 결합을 끊어 conduction band 로 올라가고, 더 많은 정공이 valence band 에 생성되게 된다.(음이온, 양이온의 생성과 반도체의 전기적 중성을 서로 혼동하지 말자!)