Microelectronics - 04. Transport of Carriers.

Drift. 

 

기본 물리학과 옴의 법칙을 통해, 물질이 전위차에 반응하여 전류를 전도할 수 있고, 전기장을 유발한다는 것을 알고 있다. 전기장은 물질의 전하 운반자(charge carriers, 전하 반송자 또는 이동자, 줄여서 캐리어라고 부름)를 가속하여 끝에서 다른 쪽의 끝으로 흐르게 하고, 전기장에 의한 charge carrier 의 움직임을 우린 'Drift' 라고 한다. 

반도체 또한 비슷한 형태로 동작한다. 캐리어는 전기장에 의해 가속을 받고, 결정 내부의 원자들과 충돌하면서 마침내, 다른 쪽 끝에 도달하여 배터리로 흘러 들어간다. 하지만, 캐리어는 전기장에 의한 가속과 결정과의 충돌이 서로를 방해하며 일정한 속도를 유지하게 된다. 그 속도 v 는 전기장의 세기 E 에 비례하다고 예상할 수 있다. 

 

2.13

2.14

µ 는 이동도(Mobility) 라고 부르며, 주로 cm2/(V · s)로 표현한다. 실리콘은 전자의 이동도가 µn = 1350cm2/(V · s) 이고 정공의 이동도 µp 는 480cm2/(V · s) 이다. 당연히 전자는 전기장의 반대 방향으로 이동하기 때문에, 다음과 같이 표현하게 된다. 

 

전자의 이동도 2.15

정공의 이동도 2.16

캐리어의 속도는 알았고, 전류는 어떻게 계산할까? 전자는 음전하로 q = 1.6 x 10^-19 C 의 전하량을 가지고 있다. 정공 또한 같은 값의 양전하를 가진다. 농도 n 의 자유 전자를 가진 반도체 바(bar)에 V1 만큼의 전압을 가한다고 하자. x = x1 에서반도체의 단면을 고려하여 전자들이 v m/s 로 이동한다고 가정하면, t = t1 과 t = t1 + 1s 사이의 1초 동안 v m 거리의 전하 총량을 알 수 있다. 

 

Q = I · t 의 식을 활용해서 I = Q / t = qnAv / 1s = q · n · A · v = q · n · W · h · v 의 식을 얻을 수 있게 된다. 이동 거리(가로) v, 너비 W, 세로 h 는 체적을, n, q 는 전하 밀도와 전하량을, 부호는 전자가 음전하를 이동시킨다는 사실을 나타낸다. 

 

v 가 전기장의 세기에 비례한다는 사실과 전류 밀도 J = I · A 를 통해, W · h 는 소거가 가능하고 식을 더 간소화할 수 있다. 

 

전류 밀도 Jn 은 단위 면적 당 통과하는 전류를 말하고, A/cm2 로 표현한다. '전류는 전하의 속도와 전하 밀도의 곱이다.' 라고 풀어서 말할 수 있는데 여기서 전류는 전류 밀도이다. 전자와 함께 정공을 포함하여 총 전류 밀도를 나타낸다면 다음과 같다. 공식의 드리프트 전류 밀도는 일정한 전자와 정공의 농도를 가진 반도체에 전기장 E 를 가한 것과 같다. 

 

 

 

 

Velocity Saturation. 

 

반도체 캐리어의 이동도는 전기장과 무관하고, E 에 따라 선형적으로 속도가 증가할 것이라고 예상했다. 하지만 실제로는, 전기장이 충분히 높은 수준에 도달한다면, 속도 v 는 더 이상 E 를 따라 선형적으로 변하지 않는다. 캐리어가 격자에 빈번하게 부딪히고 충돌하는 시간 간격도 짧기 때문에 더 이상 가속을 할 수 없기 때문이다. 결국, 속도 v 는 높은 전기장에서 '준선형적인(sublinearly)' 형태로 변화하고 최종적으로 포화 수준(Saturated level), 포화 속도라 불리는 v_sat 에 다다르게 된다. 이러한 효과는 트랜지스터에서 종종 보이며, 회로의 성능을 제한한다. 

 

2.14

포화 속도를 표현하기 위해서, 2.14 의 식을 변형할 수 있어야 한다. 단순한 접근으로 기울기, µ 는 전기장의 종속 매개 변수(field-dependant parameter)로 볼 수 있다. 기울기 µ 는 E 가 증가함에 따라 점진적으로 0 으로 떨어져야 하지만, E 가 작을 경우에는 상수로 취급한다. 

 

즉, 2.27 과 같이 표현할 수 있다. µ0 는 'low-field' 에서의 이동도이며, b 는 비례 상수이다. 따라서, µ 는 전기장 E 에 대한 'Effective mobility' 라고 할 수 있다. 

 

따라서, 전기장 E 가 ∞ 로 향하고, v 가 v_sat 으로 갈 때, 2.29 와 같은 식을 얻을 수 있고 그 때의 속도 v 는 2.30 과 같다. 

 

 

 

 

Diffusion.

 

Drift 대신에 다른 메커니즘으로 전류를 흘릴 수도 있다. 잉크 분자는 농도가 높은 영역에서 낮은 영역으로 퍼지면서 확산을 시작한다. 이러한 메커니즘을 'Diffusion' 이라고 한다. 캐리어가 반도체에 주입(dropped)되면서 불균일한 밀도를 생성하는데 이 때, 비슷한 현상이 일어난다. 심지어 전기장이 존재하지 않아도, 캐리어는 농도가 낮은 영역을 향해 이동하며, 불균일성이 유지되는 한 전류가 계속 유지된다. 이러한 특징으로 Diffusion 은 Drift 와 뚜렷한 차이점을 보인다.  

 

확산의 성질에 대한 연구에 따르면, 농도의 불균일성이 더 클수록, 더 큰 전류가 흐를 수 있다. 구체적으로는 다음과 같다. 

 

n 은 x 축의 특정 시점에서의 캐리어 농도를 나타낸다. dn/dx 를 x 에 대한 농도의 'gradient' 라고 하며, 오직 x 축 방향만의 전류를 나타낸다. 만약 각각의 캐리어가 동일한 q 의 전하량을 가지고 반도체의 단면적이 A 라면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

Dn 은 확산 상수(Diffusion constant)라고 불리는 비례 상수이며, cm2 / s 로 표현 가능하다. 예를 들어 진성 실리콘의 경우, Dn = 34cm2 / s (for electrons), Dp = 12cm2 / s (for holes) 이다. Drift 전류와 마찬가지로, 면적 A 에 대한 확산 전류를 일반화하면 전류 밀도를 구할 수 있게 된다.(2.42, 2.43) 또한, 전자와 정공을 모두 포함하여 총 전류 밀도를 나타내면, (2.44) 와 같은 식을 구할 수 있다. 

 

 

 

Einstein Relation

 

Drift 와 Diffusion 에 관한 상수는 µn (or µp), Dn (or Dp) 가 있음을 알았다. µ 와 D 의 관계는 다음 식으로 증명할 수 있다. 'Einstein Relation' 이라고 하며, kT/q = 26mV at T = 300K 처럼 반도체 역학에 텍스트로 제시된다. 

 

 

 

Summary.